Question

已知半径为2的圆C满足：①圆心在y轴的正半轴上；②它截x轴所得的弦长是2

3

，
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l经过点P（2，-3），且与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设圆的方程为x²+（y-b）²=4（b＞0），利用圆C截x轴所得的弦长是2

3

，求出b，即可求圆C的方程；
（2）分类讨论，设出切线方程，求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，写出切线方程即可．

解答： 解：（1）设圆的方程为x²+（y-b）²=4（b＞0），
∵圆C截x轴所得的弦长是2

3

，
∴3+b²=4，解得b=1．
∴圆C的方程是x²+（y-1）²=4；
（2）当过点P的直线的斜率不存在时，其方程为x=2，适合题意．
当过点P的直线的斜率存在时，设切线方程为y+3=k（x-2），即kx-y-2k-3=0，
∵圆心（0，1）到切线l的距离等于半径2，
∴

|-2k-4|

k2+1

=2，解得k=-

3

4

，
∴切线方程为y+3=-

3

4

（x-2），即3x+4y+6=0，
所以，所求的直线l的方程是3x+4y+6=0或x=2．

点评：本题考查圆的方程的求法，考查圆的切线方程的求法，注意直线的斜率存在与不存在情况，是本题的关键．