Question

直线y=kx-2与抛物线y²=2x相交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若k=1，求证：OA⊥OB；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）把k=1代入直线方程，和抛物线方程联立，利用根与系数关系求得A，B两点的横纵坐标的乘积，由x₁x₂+y₁y₂=0得到OA⊥OB；
（2）设出A，B的坐标，代入抛物线方程，利用点差法把AB的斜率用AB中点的坐标表示，代入直线方程可得弦AB中点M的轨迹方程．

解答： （1）证明：k=1时，直线方程为y=x-2，
联立

y=x-2 y2=2x

，得x²-6x+4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=6，x₁x₂=4，y₁y₂=（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=-4．
此时x₁x₂+y₁y₂=0，
∴OA⊥OB；
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
则y12=2x1，y22=2x2，
两式相减得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2（x₁-x₂）

y1-y2

x1-x2

=

2

y1+y2

，
即kAB=

2

y1+y2

=

1

y

，
代入入y=kx-2，得x-y²-2y=0，即（y+1）²=x+1．
∴弦AB中点M的轨迹方程为：（y+1）²=x+1．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用点差法求与中点弦有关的问题，是中档题．