Question

已知两点M（-2，0），N（2，0），若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

4-a2

=1，0＜a＜2，联立

x2 a2 - y2 4-a2 =1 x+y=0

，得（4-2a²）x²+2a²x+a⁴-5a²=0，由此利用根的判别式能求出实轴最长的双曲线C的方程．

解答： 解：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

4-a2

=1，0＜a＜2，
联立

x2 a2 - y2 4-a2 =1 x+y=0

，得（4-2a²）x²+2a²x+a⁴-5a²=0，
∵以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，
∴△=4a⁴-4（4-2a²）（a⁴-5a²）≥0，
解得a²≤

5

2

，或a²≥4（舍）
∴实轴长为2a，最大为

10

∵c=

1

2

|MN|=2，
∴b²=c²-a²=

3

2

，
∴实轴最长的双曲线C的方程为

x2

5 2

-

x2

3 2

=1．

点评：本题考查实轴最长的双曲线方程的求法，是中档题，考查学生分析解决问题的能力，综合性较强．