Question

已知f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，则函数y=[f（x）]²+f（x 

1

2

）的值域为

 

．

Answer 1

考点：对数函数的值域与最值,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：利用已知条件化简所求函数的解析式，通过x的范围，求解log₃x的范围，然后求解函数的最值．

解答： 解：f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，
所以log₃x∈[0，2]，
函数y=[f（x）]²+f（x 

1

2

）=（2+log₃x）²+2+

1

2

log₃x
令t=log₃x，
∴函数y=t²+

9

2

t+6．t∈[0，2]，
函数的对称轴为t=-

9

4

∉[0，2]函数的开口向上，在t∈[0，2]是增函数，
函数的最小值为：6，最大值为：19．
函数y=[f（x）]²+f（x 

1

2

）的值域为：[6，19]．
故答案为：[6，19]．

点评：本题考查对数函数的值域，二次函数闭区间上的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．