Question

3．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表：

年龄	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65]
支持“延迟退休”人数	5	10	10	2	1

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；

	45岁以下	45岁以上	合计
支持
不支持
合计

（Ⅱ）若从年龄在[45，55），[55，65]的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持“延迟退休”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
参考数据：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K²的值，即可得到结论；
（Ⅱ）ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）2×2列联表：

	45岁以下	45岁以上	合计
支持	25	3	28
不支持	15	7	22
合计	40	10	50

K²=$\frac{50×（25×7-15×3）^{2}}{40×10×28×22}$≈3.429＞2.706，
所以有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{9}{50}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{12}{25}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{25}$，
所以ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{9}{50}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{25}$

所以ξ的期望值是Eξ=0×$\frac{9}{50}$+1×$\frac{12}{25}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{25}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题．