Question

1．以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线${C_1}：{（x-2）^2}+{y^2}=4$，点A的极坐标为$（3\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，直线l的极坐标方程为$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$，且点A在直线l上．
（1）求曲线C₁的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设l向左平移6个单位后得到l′，l′与C₁的交点为M，N，求l′的极坐标方程及|MN|的长．

Answer 1

分析 （1）曲线${C_1}：{（x-2）^2}+{y^2}=4$，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标方程．点A$（3\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$在直线l：$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$上，代入解得a=3$\sqrt{2}$．展开进而化为直角坐标方程．
（2）l向左平移6个单位后得到l′：x+y=0．可得l′的极坐标方程为：$θ=\frac{3π}{4}$（ρ∈R）．代入曲线C₁的极坐标方程即可得出．

解答 解：（1）曲线${C_1}：{（x-2）^2}+{y^2}=4$，展开化为：x²+y²-4x=0，
化为极坐标方程：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ，
点A$（3\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$在直线l：$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$上，可得$3\sqrt{2}$$cos（\frac{π}{4}-\frac{π}{4}）$=a，解得a=3$\sqrt{2}$．
∴直线l的极坐标方程展开为：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）$=3$\sqrt{2}$，化为ρcosθ+ρsinθ=6．
∴直线l的直角坐标方程为x+y-6=0．
（2）l向左平移6个单位后得到l′：x+y=0．
∴l′的极坐标方程为：$θ=\frac{3π}{4}$（ρ∈R）．
代入曲线C₁的极坐标方程ρ²-4ρcosθ=0，
可得ρ=0或ρ=4cos$\frac{3π}{4}$=-2$\sqrt{2}$．
∴|MN|=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、坐标变换、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．