Question

8．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为7ρ²-ρ²cos2θ-24=0．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）点（x，y）在曲线C上，试求x-2y的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C的极坐标方程为7ρ²-ρ²cos2θ-24=0．由倍角公式cos2θ=1-2sin²θ，方程变形为3ρ²+ρ²sin²θ-12=0，利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出．
（Ⅱ）由曲线C的直角坐标方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可设x=2cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ．利用和差公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为7ρ²-ρ²cos2θ-24=0．
由倍角公式cos2θ=1-2sin²θ，方程变形为3ρ²+ρ²sin²θ-12=0，
再由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y得曲线C的直角坐标方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）由曲线C的直角坐标方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可设x=2cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ．
则z=x-2y=$2cosθ-2\sqrt{3}sinθ$=$4sin（\frac{π}{6}-θ）$，则-4≤z≤4，
故x-2y的取值范围是[-4，4]．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化、三角函数和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．