题目内容
14．已知函数f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1处的极小值为-1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
分析 （Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；
（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．
解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x2-6ax+2b
∵在x=1处的极值为-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）=-1\\{f^'}（1）=0\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}1-3a+2b=-1\\ 3-6a+2b=0\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=3x2-2x-1
当f′（x）≥0时，$x≤-\frac{1}{3}$或x≥1，
∴增区间为$（{-∞，-\frac{1}{3}}]，[{1，+∞}）$
当f′（x）≤0时，$-\frac{1}{3}≤x≤1$，
∴减区间为$[{-\frac{1}{3}，1}]$
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
当$x=-\frac{1}{3}$时，f（x）取极大值为$\frac{5}{27}$，当x=1时，f（x）取极大值为-1
∴当$-1＜a＜\frac{5}{27}$时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．
点评 考查了极值的定义和极值的应用，难点是对极值的深刻理解．
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2．已知函数f（x）=x3-3ax+$\frac{1}{4}$，若函数y=f（x）的极小值为0，则a的值为（ ）
| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | -$\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{3}{4}$ | D． | -$\frac{3}{4}$ |
如图所示，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC上的点（E、F不与边的端点重合）．已知线段BF、BC的长分别为m、n、AB、BE的长是关于x的方程x2-18x+mn=0的两个根．
3．
中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表：
（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
（Ⅱ）若从年龄在[45，55），[55，65]的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持“延迟退休”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
参考数据：
K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表：| 年龄 | [15，25） | [25，35） | [35，45） | [45，55） | [55，65] |
| 支持“延迟退休”人数 | 5 | 10 | 10 | 2 | 1 |
| 45岁以下 | 45岁以上 | 合计 | |
| 支持 | |||
| 不支持 | |||
| 合计 |
参考数据：
| P（K2≥k） | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |