Question

已知函数f（x）=

x2+2x+m

x

．
（1）若m为正常数，求x∈[1，2]上的最小值；
（2）若对?x∈[1，+∞﹚，f﹙x﹚＞0恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，再结合x∈[1，2]，分类讨论，即可求x∈[1，2]上的最小值；
（2）对?x∈[1，+∞﹚，f﹙x﹚＞0恒成立等价于?x∈[1，+∞﹚，x²+2x+m＞0恒成立，分离参数，求最值，即可求实数m的范围．

解答： 解：（1）f（x）=

x2+2x+m

x

=x+

m

x

+2，则f′（x）=1-

m

x2

=0，
∴x=

m

（负值舍去），
∴

m

＞2，即m＞4时，f（x）_min=f（2）=4+

m

2

；
1≤

m

≤2，即1≤m≤4时，f（x）_min=f（

m

）=2

m

+2；

m

＜1，即0＜m＜1时，f（x）_min=f（1）=3+m；
（2）对?x∈[1，+∞﹚，f﹙x﹚＞0恒成立等价于?x∈[1，+∞﹚，x²+2x+m＞0恒成立，
∴m＞-（x²+2x）．
∵-（x²+2x）=-（x+1）²+1，x∈[1，+∞﹚，
∴x=1时，[-（x²+2x）]max=-3，
∴m＞-3．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，解决本题的关键是对问题进行等价转化，变为函数的最值解决．