Question

7．设S为复数集C的非空子集．如果
（1）S含有一个不等于0的数；
（2）?a，b∈S，a+b，a-b，ab∈S；
（3）?a，b∈S，且b≠0，$\frac{a}{b}$∈S，那么就称S是一个数域．
现有如下命题：
①如果S是一个数域，则0，1∈S；
②如果S是一个数域，那么S含有无限多个数；
③复数集是数域；
④S={a+b$\sqrt{2}$|a，b∈Q，}是数域；
⑤S={a+bi|a，b∈Z}是数域．
其中是真命题的有①②③④（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析 根据已知中数域的概念，逐一分析5个命题的真假，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：由已知中（1）S含有一个不等于0的数；
（2）?a，b∈S，a+b，a-b，ab∈S；
（3）?a，b∈S，且b≠0，$\frac{a}{b}$∈S，那么就称S是一个数域．
令a=b≠0，
则a-b=0∈S；$\frac{a}{b}$=1∈S，故①正确；
na∈S，n∈Z，故②正确；
复数集C满足3个条件，故复数集是数域，故③正确；
S={a+b$\sqrt{2}$|a，b∈Q，}满足3个条件，故S是数域，故④正确；
S={a+bi|a，b∈Z}不满足条件（3），故S不是数域，故⑤错误；
故答案为：①②③④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数域的概念，正确理解数域的概念，是解答的关键．