Question

15．已知命题P：对任意实数x∈R都有（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x²-ax+1=0有两个不相等的实根．若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，然后根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．

解答 解：对任意实数x都有（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立，
若a=1，则不等式等价为2x+1＞0，则不满足条件．
若a=-1，则不等式等价为1＞0，则满足条件．
若a≠±1，则等价为$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△=（a+1）^{2}-4（{a}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜-1}\\{3{a}^{2}-2a-5＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜-1}\\{-1＜a＜\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，即1＜a＜$\frac{5}{3}$
综上1≤a＜$\frac{5}{3}$；
关于x的方程x²-ax+1=0有实数根?△=a²-4＞0，解得a＞2或a＜-2，
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，
如果p真q假，则有$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜\frac{5}{3}}\\{-2≤a≤2}\end{array}\right.$，即1＜a≤2，
如果p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{5}{3}或a≤1}\\{a＞2或a＜-2}\end{array}\right.$，得a＞2或a＜-2，
综上a＞1或a＜-2，
即实数a的取值范围为（-∞，-2）∪（1，+∞）．

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．