Question

17．已知三点P（5，2），F₁（-6，0），F₂（4，0），以F₁，F₂为焦点且过点P的椭圆的标准方程是$\frac{（x+1）^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

Answer 1

分析 设所求椭圆方程为$\frac{（x+1）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其半焦距c=5．由于点P（5，2）在椭圆上，利用椭圆的定义可得2a=|PF₁|+|PF₂|，再利用b²=a²-c²即可得出椭圆方程．

解答 解：依题意，椭圆的中心为F₁F₂的中点（-1，0），
设所求椭圆方程为$\frac{（x+1）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
其半焦距c=5．
∵点P（5，2）在椭圆上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{（5+6）^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（5-4）^{2}+{2}^{2}}$=6$\sqrt{5}$．
∴a=3$\sqrt{5}$，从而b²=a²-c²=20．
故所求椭圆的标准方程是 $\frac{（x+1）^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．
故答案为：$\frac{（x+1）^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用待定系数法和椭圆的定义，考查运算能力，属于中档题．