Question

满足f（x）=x的x称为函数f（x）的不动点．已知f（x）=

2x+a

x+b

（a，b∈R）有绝对值相等、符号相反的不动点，则a，b所满足的条件是

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）=

2x+a

x+b

（a，b∈R）有绝对值相等、符号相反的不动点，故方程x²+（b-2）x-a=0有互为相反且不等b的两根x₁，x₂，由韦达定理可得a，b所满足的条件．

解答： 解：若f（x）=

2x+a

x+b

=x成立，
即x²+（b-2）x-a=0有解，
又由f（x）=

2x+a

x+b

（a，b∈R）有绝对值相等、符号相反的不动点，
故方程x²+（b-2）x-a=0有互为相反且不等b的两根x₁，x₂，
则x₁+x₂=2-b=0，解得b=2，
x₁•x₂=-a=-x₁²，且-a≠-4，
解得a≥0且a≠4．
综上所述，a，b所满足的条件是：a≥0且a≠4，b=2，
故答案为：a≥0且a≠4，b=2

点评：本题考查的知识点是方程的根，韦达定理，其中将f（x）=

2x+a

x+b

（a，b∈R）有绝对值相等、符号相反的不动点，转化为方程x²+（b-2）x-a=0有互为相反且不等b的两根x₁，x₂，是解答的关键．