Question

已知函数f（x）=a+

1

2x-1

（a∈R）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并求函数f（x）在[1，t]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）运用奇函数的定义即为f（-x）+f（x）=0，代入化简即可得到a；
（2）运用指数函数的单调性，即可判断f（x）的单调性，再由单调性即可得到最值．

解答： 解：（1）函数f（x）=a+

1

2x-1

（a∈R）是奇函数，
则f（-x）+f（x）=0，
2a+

1

2-x-1

+

1

2x-1

=0，
即为2a+

2x

1-2x

+

1

2x-1

=0，即有2a=1，解得，a=

1

2

；
（2）当x＞0时，2^x-1＞0，2^x递增，2^x-1递增，

1

2x-1

递减，
则f（x）在（0，+∞）递减．
函数f（x）在[1，t]上递减，则有f（x）的最大值为f（1）=

1

2

+

1

2-1

=

3

2

，
最小值为f（t）=

1

2

+

1

2t-1

．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查定义法的运用和指数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．