题目内容
已知函数f（x）=ex-x2，若?x∈[1，2]，不等式-m≤f（x）≤m2-4恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
| A、（-∞，1-e] |
| B、[1-e，e] |
| C、[-e，e+1] |
| D、[e，+∞） |
考点：利用导数求闭区间上函数的最值
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：由题意，求导再二阶求导，从而确定函数的单调性，从而求函数的最值，化恒成立问题为最值问题即可．
解答：
解：∵f（x）=ex-x2，
∴f′（x）=ex-2x，
∴f″（x）=ex-2，
∵x∈[1，2]，
∴f″（x）=ex-2＞0，
故f′（x）=ex-2x在[1，2]上是增函数，
故f′（x）=ex-2x≥e-2＞0；
故f（x）=ex-x2在[1，2]上是增函数，
故e-1≤ex-x2≤e2-4；
故-m≤f（x）≤m2-4恒成立可化为
-m≤e-1≤e2-4≤m2-4；
故m≥e；
故选D．
∴f′（x）=ex-2x，
∴f″（x）=ex-2，
∵x∈[1，2]，
∴f″（x）=ex-2＞0，
故f′（x）=ex-2x在[1，2]上是增函数，
故f′（x）=ex-2x≥e-2＞0；
故f（x）=ex-x2在[1，2]上是增函数，
故e-1≤ex-x2≤e2-4；
故-m≤f（x）≤m2-4恒成立可化为
-m≤e-1≤e2-4≤m2-4；
故m≥e；
故选D．
点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．
练习册系列答案
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