Question

已知关于x的函数y=x²-4ax+2a+6，若y≥0恒成立，则函数f（a）=2-a|a+3|的值域为（　　）

• A、[-

  19

  4

  ，

  17

  4

  ]
• B、[-2，

  17

  4

  ]
• C、[-

  19

  4

  ，4]
• D、[-2，4]

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先根据关于x的函数y=x²-4ax+2a+6，y≥0恒成立可求出a的取值范围：-1≤a≤

3

2

，这时候可求出f（a），并判断f（a）在[-1，

3

2

]上的单调性，根据单调性即可求出函数f（a）的值域．

解答： 解：对于函数y=x²-4ax+2a+6，y≥0恒成立，∴△=16a²-4（2a+6）≤0，解得：
-1≤a≤

3

2

；
∴f（a）=2-a|a+3|=2-a（a+3）=-(a+

3

2

)2+

17

4

；
∴f（a）在[-1，

3

2

]上单调递减，
∴f（a）∈[f（

3

2

），f（-1）]=[-

19

4

，4]；
即f（a）的值域为[-

19

4

，4]．
故选C．

点评：考查二次函数图象和x轴交点情况和判别式△的关系，二次函数的单调性和对称轴的关系．