Question

已知函数f（x）=log₂

2x-1

2x+2

，
1）判断函数f（x）的单调性；
2）当x∈[1，2]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性，同增异减，问题得以解决．
（2）根据函数在[1，2]上的单调性质，即可求出最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=log₂

2x-1

2x+2

=log₂（1-

3

2x+2

），
∴

2x-1

2x+2

＞0，
即x＜-1或x＞

1

2

，
设u=1-

3

2x+2

为增函数，log₂u为增函数，
根据复合函数的单调性，
∴f（x）在（-∞，-1）和（

1

2

，+∞）上单调递增．
（2）由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，
故当x=1是函数有最小值，最小值为f（1）=log₂

1

4

=-2，
故当x=2是函数有最大值，最大值为f（2）=log₂

1

2

=-1，

点评：本题主要考查了复合函数的单调性以及根据单调性求最值，关键是注意函数的定义域，属于基础题．