Question

已知0＜a＜1，f（x）=log_ax+

1

logax

．
（1）写出f（x）的定义域；
（2）判断并证明f（x）在[

1

a

，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得可得log_ax≠0，由此求得函数的定义域．
（2）令t=log_ax，可得t是减函数，且t≤-1．利用导数求得函数h（t）=t+

1

t

在（-∞，-1]上是增函数，可得f（x）在[

1

a

，+∞）上是减函数．

解答： 解：（1）由0＜a＜1，f（x）=log_ax+

1

logax

，可得log_ax≠0，
故有x＞0，且 x≠1，
故函数的定义域为{x|x＞0，且 x≠1}．
（2）令t=g（x）=log_ax，由0＜a＜1、x∈[

1

a

，+∞），
可得g（x）是减函数，且g（x）≤-1，且f（x）=h（t）=t+

1

t

．
∵h′（t）=1-

1

t2

≥0，故函数h（t）在（-∞，-1]上是增函数，
∴f（x）=f[g（x）]在[

1

a

，+∞）上是减函数．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．