Question

已知F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=l（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点到其右焦点的距离为

3

，双曲线与该椭圆离心率之积为

5 6

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,等差数列与等比数列,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设P为双曲线的右支上的点，运用双曲线的定义和等差数列的性质，以及勾股定理，得到a，c的关系，再由离心率公式得到双曲线的离心率为5，进而得到椭圆的离心率，由条件可得a=

3

，再由离心率公式，即可得到椭圆的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．分当AB⊥x轴时与AB与x轴不垂直时求出|AB|．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，由坐标原点O到直线l的距离为

3

2

可得

|m|

1+k2

=

3

2

，化为m²=

3

4

（k²+1），同时将直线方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出|AB|，再由基本不等式求得|AB|的最大值，运用三角形的面积公式，即可得到面积的最大值．

解答： 解：（1）设P为双曲线的右支上的点，
|PF₁|-|PF₂|=2a，①
又PF₂，PF₁，F₁F₂成等差数列，则有|PF₂|+|F₁F₂|=2|PF₁|，
即2|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|=2c，②
由①②解得，|PF₁|=2（c-a），|PF₂|=2（c-2a），
由于∠F₁PF₂=90°，则|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
则4（c-a）²+4（c-2a）²=4c²，
化简得，c²-6ac+5a²=0，
解得，c=5a，即有双曲线的离心率为5，
则由双曲线与该椭圆离心率之积为

5 6

3

，
即有椭圆的离心率为

6

3

，
设椭圆的方程为

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0），
由于椭圆短轴的一个端点到其右焦点的距离为

3

，即有m=

3

，
则

m2-n2

=

2

，解得，n=1，
则有椭圆方程为

x2

3

+y²=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当AB⊥x轴时，∵坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，
∴可取A（

3

2

，y₁），代入椭圆得

3 4

3

+y₁²=1，解得y₁=±

3

2

．
∴|AB|=

3

；
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，
由坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，可得

|m|

1+k2

=

3

2

，化为m²=

3

4

（k²+1）．
把y=kx+m代入椭圆方程，消去y得到（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

．
∴|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
=（1+k²）[（-

6km

1+3k2

）²-4•

3m2-3

1+3k2

]
=

12(1+k2)(1+3k2-m2)

(1+3k2)2

=

3(1+k2)(9k2+1)

(1+3k2)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

．
当k≠0时，|AB|²=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

2×3+6

=4，
当且仅当k²=

1

3

时取等号，此时|AB|=2．
当k=0时，|AB|=

3

．
综上可知：|AB|_max=2．△OAB的面积最大值为=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，熟练掌握直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长问题、三角形的面积、点到直线的距离公式、分类讨论的思想方法的方法等是解题的关键．