题目内容
设二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）-x＜0的解集为（x1，x2）其中x1，x2满足0＜x1＜x2＜
（1）当x∈（x1，x2）时，求证x1＜f（x）＜x；
（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证：x0＜
．
| 1 |
| a |
（1）当x∈（x1，x2）时，求证x1＜f（x）＜x；
（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证：x0＜
| x1 |
| 2 |
考点：函数与方程的综合运用
专题：函数的性质及应用
分析：（1）可以构造一个函数，然后利用做差的方法进行，然后判断差的符号即可；
（2）想办法将对称轴用x1，x2表示出来，然后与
比较即可，注意性质的运用．
（2）想办法将对称轴用x1，x2表示出来，然后与
| x1 |
| 2 |
解答：
解：（1）令F（x）=f（x）-x，
因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，所以F（x）=a（x-x1）（x-x2），且a＞0，
当x∈（x1，x2）时，由x1＜x＜x2得（x-x1）（x-x2）＜0，又a＞0，
所以F（x）=a（x-x1）（x-x2）＜0，即f（x）＜x．
而x1-f（x）=x1-[x+F（x）]=x1-x+a（x1-x）（x-x2）=（x1-x）[1+a（x-x2）]．
因为0＜x1＜x＜x2＜
，所以x1-x＜0，1+a（x-x2）=1+ax-ax2＞1-ax2＞0
得x-f（x）＜0，由此得x1＜f（x）＜x．
（2）由（1）知f（x）=F（x）+x=x+a（x-x1）（x-x2）=ax2+[1-a（x1+x2）]x+ax1x2
x0=-
=
=
+
，
因为ax2＜1，所以
+
＜
，即x0＜
．
因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，所以F（x）=a（x-x1）（x-x2），且a＞0，
当x∈（x1，x2）时，由x1＜x＜x2得（x-x1）（x-x2）＜0，又a＞0，
所以F（x）=a（x-x1）（x-x2）＜0，即f（x）＜x．
而x1-f（x）=x1-[x+F（x）]=x1-x+a（x1-x）（x-x2）=（x1-x）[1+a（x-x2）]．
因为0＜x1＜x＜x2＜
| 1 |
| a |
得x-f（x）＜0，由此得x1＜f（x）＜x．
（2）由（1）知f（x）=F（x）+x=x+a（x-x1）（x-x2）=ax2+[1-a（x1+x2）]x+ax1x2
x0=-
| b |
| 2a |
| a(x1+x2)-1 |
| 2a |
| ax2-1 |
| 2a |
| x1 |
| 2 |
因为ax2＜1，所以
| ax2-1 |
| 2a |
| x1 |
| 2 |
| x1 |
| 2 |
| x1 |
| 2 |
点评：本题考查了二次函数与二次不等式、方程的根之间的关系，要注意将函数的性质与方程的根结合函数的图象有机结合起来．
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设a=sin（-810°），b=tan（
），c=lg
，则它们的大小关系为（ ）
| 33π |
| 8 |
| 1 |
| 5 |
| A、a＜b＜c |
| B、a＜c＜b |
| C、b＜c＜a |
| D、c＜a＜b |