Question

已知异面直线l与m，m?α，l与m及平面α所成角均为

π

4

，动点P在平面α内，且到直线l与m的距离相等，则动点P的轨迹是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意构造一棱长为1的正方体，设底面为平面α以及直线l、m，建立空间直角坐标系设出P的坐标，根据条件列出方程化简后，由点P的轨迹方程判断出动点P的轨迹．

解答： 解：如右图，构造一棱长为1的正方体：
设底面为平面α，直线l，m如图所示，
显然直线l与m，l与平面α都成

π

4

的角，
建立如图所示坐标系，并设P（x，y，0），
动点P到m的距离为：|PM|=|1-y|，
动点P到l的距离为：|PH|，
（作法：先作PN⊥x轴于N，再作NH⊥l于H），
因为HN=

2

2

|x|，
所以|PH|=

|PN|2+|HN|2

=

y2+ 1 2 x2

，
由|PM|=|PH|，得x2=-4(y-

1

2

)，
因此点P的轨迹为：抛物线．

点评：本题考查动点P的轨迹以及轨迹方程的求法，解题的关键是构造正方体，将面、线放在正方体中，属于难题．