Question

在数列{a_n}中，a₁=4，a_n+1=a_n+k•3ⁿ+1（n∈N₊，k为常数），a₁，a₂+6，a₃成等差数列．
（1）设数列{b_n}满足b_n=

n

an-n

，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）设数列{c_n}满足c_n=

n2

an-n

，证明：c_n≤

4

9

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得2（a₂+6）=a₁+a₃，解得k=2，从而a_n+1=a_n+2•3ⁿ+1，由此能求出a_n=3ⁿ+n．从而b_n=

n

an-n

=

n

3n

，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．
（Ⅱ）由已知得c_n=

n2

(3n+n)-n

=

n2

3n

，从而c_n+1-c_n=

(n+1)2

3n+1

-

n2

3n

=

-2n2+2n+1

3n+1

，由此能证明c_n≤

4

9

．

解答： （Ⅰ）解：因为a₁=4，a_n+1=a_n+p•3ⁿ+1，
所以a₂=a₁+k•3+1=3k+5，
a₃=a₂+p•3²+1=12k+6．
因为a₁，a₂+6，a₃成等差数列，所以2（a₂+6）=a₁+a₃，
即6k+10+12=4+12k+6，解得k=2．
依题意，a_n+1=a_n+2•3ⁿ+1，
所以当n≥2时，a₂-a₁=2•3+1，a₃-a₂=2•3²+1，
…，a_n-1-a_n-2=2•3^n-2+1，a_n-a_n-1=2•3^n-1+1．
相加得a_n-a₁=2（3^n-1+3^n-2+…+3²+3）+n-1，
所以a_n-a₁=2×

3(1-3n-1)

1-3

+（n-1），
所以a_n=3ⁿ+n．
当n=1时，a₁=3+1=4成立，
所以a_n=3ⁿ+n．  
所以b_n=

n

an-n

=

n

3n

，
所以Sn=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

，①

1

3

Sn=

1

32

+

2

33

+

3

34

+…+

n

3n+1

，②
①-②，得：

2

3

Sn=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

=

1- 1 3n

2

-

n

3n+1

，
∴S_n=

3

4

-

1

4•3n-1

-

n

2•3n

．
（Ⅱ）证明：因为a_n=3ⁿ+n，所以c_n=

n2

(3n+n)-n

=

n2

3n

．
因为c_n+1-c_n=

(n+1)2

3n+1

-

n2

3n

=

-2n2+2n+1

3n+1

，（n∈N^*）．
若-2n²+2n+1＜0，则n＞

1+ 3

2

，即n≥2时，c_n+1＜c_n．
又因为c₁=

1

3

，c₂=

4

9

，所以c_n≤

4

9

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．