Question

已知函数f（x）=2mx³-3nx²+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，则lg²m+lg²n的最小值为（　　）

• A、

  1

  7

• B、

  1

  9

• C、

  1

  11

• D、

  1

  13

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得函数的极大值或极小值等于0，求得m、n的关系，再取对数得lgn=

1

3

+

2

3

lgm，即可将问题转化为二次函数求最小值解得结论．

解答： 解：f′（x）=6mx²-6nx=6x（mx-n），
∴由f′（x）=0得x=0或x=

n

m

，
∵f（x）=2mx³-3nx²+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，又f（0）=10，
∴f（

n

m

）=0，即2m•(

n

m

)3-3n•(

n

m

)2+10=0，整理得n³=10m²，
两边取对数得3lgn=1+2lgm，∴lgn=

1

3

+

2

3

lgm，
∴lg²m+lg²n=lg²m+（

1

3

+

2

3

lgm）²=

1

9

（13lg²m+4lgm+1）=

13

9

（lgm+

2

13

）²+

1

13

，
∴当lgm=-

2

13

时，lg²m+lg²n有最小值为

1

13

．
故选D．

点评：本题考查函数的零点的判断及利用导数研究函数的极值知识，考查学生的等价转化能力及运算求解能力，属于中档题．