Question

计算下列各式的和：
（1）

n

k=0

2n-k

C

k n

；     
（2）

n

k=0

(-1)k(2k+1)

C

k n

；    
（3）

n

k=0

1

k+1

C

k n

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：计算题

分析：由条件利用二项式定理，二项式系数的性质，并用倒序向加法进行数列求和，可得所给式子的值．

解答： 解：（1）

n

k=0

2n-k

C

k n

=（2+1）ⁿ=3ⁿ；
（2）∵

n

k=0

(-1)k(2k+1)

C

k n

=

C

0 n

-3

C

1 n

+5

C

2 n

-7

C

3 n

+9

C

4 n

+…+（-1）ⁿ（2n+1）

C

n n

；
∴

n

k=0

(-1)k(2k+1)

C

k n

=（-1）ⁿ•（2n+1）

C

n n

+（-1）^n-1（2n-1）

C

n-1 n

+…-3

C

1 n

+

C

0 n

 
∴2

n

k=0

(-1)k(2k+1)

C

k n

=（2n+1）[

C

0 n

-

C

1 n

+

C

2 n

-

C

3 n

+…+（-1）ⁿ

C

n n

]=（2n+1）（1-1）ⁿ=0，
∴

n

k=0

(-1)k(2k+1)

C

k n

=0．
（3）∵

n

k=0

1

k+1

C

k n

=

C

0 n

+

C 1 n

2

+

C 2 n

3

+…+

1

n

•C

n n

，∴

n

k=0

1

k+1

C

k n

=

1

n

•C

n n

+

1

n-1

C

n-1 n

+…+

C 1 n

2

+

C

0 n

，
∴2

n

k=0

1

k+1

C

k n

=（1+

1

n

）[

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

]=（1+

1

n

）2ⁿ，∴

n

k=0

1

k+1

C

k n

=（1+

1

n

）2^n-1．

点评：本题主要考查二项式系数的性质，用倒序向加法进行数列求和，属于中档题．