Question

18．设复数z=cosθ-sinθ+$\sqrt{2}$+i（cosθ+sinθ），当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值．

Answer 1

分析 |z|=$\sqrt{（cosθ-sinθ+\sqrt{2}）^{2}+（cosθ+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{4+4cos（θ+\frac{π}{4}）}$．利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：|z|=$\sqrt{（cosθ-sinθ+\sqrt{2}）^{2}+（cosθ+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{2}（cosθ-sinθ）}$=$\sqrt{4+4cos（θ+\frac{π}{4}）}$．
当$cos（θ+\frac{π}{4}）$=1时，即θ=2kπ-$\frac{π}{4}$（k∈Z）时，|z|取得最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的单调性与值域、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．