题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=
．
（Ⅰ）若
•
=
，求c的最小值；
（Ⅱ）设向量
=(2sinB，-
)，
=(cos2B，1-2sin2
)，且
∥
，求sin（B-A）的值．
| 3 |
| 10 |
（Ⅰ）若
| CB |
| CA |
| 9 |
| 2 |
（Ⅱ）设向量
| x |
| 3 |
| y |
| B |
| 2 |
| x |
| y |
考点：平面向量数量积的运算,余弦定理
专题：平面向量及应用
分析：（Ⅰ）根据数量积的应用，结合余弦定理即可求c的最小值；
（Ⅱ）根据向量平行的坐标公式，利用三角函数的三角公式即可得到结论．
（Ⅱ）根据向量平行的坐标公式，利用三角函数的三角公式即可得到结论．
解答：
解：（Ⅰ）∵
•
=
，
∴abcosC=ab×
=
，
∴ab=15．
∴c2=a2+b2-2abcos?C≥2ab-2ab?
=21，
∴c≥
，
即c的最小值为
；
（Ⅱ）∵
∥
，
∴2sin?B(1-2sin?2
)+
cos?2B=0，
即2sin?Bcos?B+
cos?2B=0，
∴sin?2B+
cos?2B=0，
即tan2B=-
，
∴2B=
或
，
即B=
或
．
∵cosC=
＜
，
∴C＞
，sinC=
．
∴B=
或
（舍去）．
∴sin?(B-A)=sin?[B-(π-B-C)]=sin?(C-
)=sin?Ccos?
-cos?Csin?
=
×
-
×
=
．
| CB |
| CA |
| 9 |
| 2 |
∴abcosC=ab×
| 3 |
| 10 |
| 9 |
| 2 |
∴ab=15．
∴c2=a2+b2-2abcos?C≥2ab-2ab?
| 3 |
| 10 |
∴c≥
| 21 |
即c的最小值为
| 21 |
（Ⅱ）∵
| x |
| y |
∴2sin?B(1-2sin?2
| B |
| 2 |
| 3 |
即2sin?Bcos?B+
| 3 |
∴sin?2B+
| 3 |
即tan2B=-
| 3 |
∴2B=
| 2π |
| 3 |
| 5π |
| 3 |
即B=
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
∵cosC=
| 3 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
∴C＞
| π |
| 3 |
| ||
| 10 |
∴B=
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
∴sin?(B-A)=sin?[B-(π-B-C)]=sin?(C-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 10 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| ||
| 2 |
| ||||
| 20 |
点评：本题主要考查平面向量的数量积的应用，考查向量和三角函数的综合，考查学生的计算能力．
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