Question

已知函数f（x）=x²-2ax-（2a+2）
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞x；
（Ⅱ）若f（x）+3≥0在区间（-1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法即可解不等式f（x）＞x；
（Ⅱ）根据不等式恒成立，转化为求函数的最值即可得到结论．

解答： 解（Ⅰ）由f（x）＞x得x²-（2a+1）x-（2a+2）＞0，即（x-2a-2）（x+1）＞0，
当2a+2＞-1，即a＞-

3

2

时，原不等式的解为x＞2a+2或x＜-1，
当2a+2=-1，即a=-

3

2

时，原不等式的解为x∈R且x≠-1，
当2a+2＜-1，即a＜-

3

2

时，原不等式的解为x＞-1或x＜2a+2．
综上，当a＞-

3

2

时，原不等式的解集为{x|x＞2a+2或x＜-1}；
当a=-

3

2

时，解集为{x|x∈R且x≠-1}；
当a＜-

3

2

时，解集为{x|x＞-1或x＜2a+2}．
（Ⅱ）由f（x）+3≥0得x²-2a（x+1）+1≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即2a≤(

x2+1

x+1

)min在（-1，+∞）上恒成立．
令t=x+1（t＞0），则

x2+1

x+1

=

(t-1)2+1

t

=t+

2

t

-2≥2

2

-2，
当且仅当t=

2

等号成立
∴(

x2+1

x+1

)min?=2

2

-2，
∴2a≤2

2

-2，即a≤

2

-1．
故实数a的取值范围是(-∞，

2

-1]．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，考查的计算能力．