Question

15．在等比数列{a_n}中，a₁+a_n=82，a₃•a_n-2=81，且数列{a_n}的前n项和S_n=121，则此数列的项数n等于5．

Answer 1

分析 由题意易得a₁和a_n是方程x²-82x+81=0的两根，求解方程得到两根，分数列递增和递减可得a₁，a_n，再由S_n=121得q，进一步可得n值．

解答 解：由等比数列的性质可得a₁a_n=a₃•a_n-2=81，
又a₁+a_n=82，
∴a₁和a_n是方程x²-82x+81=0的两根，
解方程可得x=1或x=81，
若等比数列{a_n}递增，则a₁=1，a_n=81，
∵S_n=121，∴$\frac{{a}_{1}-{a}_{n}q}{1-q}$=$\frac{1-81q}{1-q}$=121，
解得q=3，∴81=1×3^n-1，解得n=5；
若等比数列{a_n}递减，则a₁=81，a_n=1，
∵S_n=121，∴$\frac{{a}_{1}-{a}_{n}q}{1-q}$=$\frac{81-q}{1-q}$=121，
解得q=$\frac{1}{3}$，∴1=81×（$\frac{1}{3}$）^n-1，解得n=5．
综上，数列的项数n等于5．
故答案为：5．

点评 本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及等比数列的性质和韦达定理，属中档题．