Question

10．已知$\overrightarrow{n}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{m}$=（cosx，2cosx），设f（x）=$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$+a
（1）若a=1，求f（x）的单调区间和最大值、最小值，以及取得最大值和最小值时x的值；
（2）若x∈[0，π]且a=-1时，方程f（x）=b有两个不相等的实数根x₁、x₂，求b的取值范围及x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 计算向量的数量积，利用二倍角．两角和的正弦函数化简函数f（x）的表达式，得到一个角的一个三角函数的形式；
（1）利用正弦函数的性质来求单调区间和最大值、最小值，以及取得最大值和最小值时x的值；
（2）代入a=-1，可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），结合该函数在区间[0，π]的图象把方程f（x）=b的根转化为函数图象的交点问题

解答 解：$f（x）=\overrightarrow n•\overrightarrow m+a=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+a$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+a+1$
（1）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，则kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故增区间是[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，则kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，故减区间是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
当$x=kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$时，最大值为4，
当x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z时，最小值为0．
（2）当x∈[0，π]且a=-1时，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，且$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{13π}{6}$，
∴要使方程f（x）=b有两个不相等的实数根x₁、x₂，须满足-2＜b＜2且b≠1．
又${x_1}与{x_2}关于直线x=\frac{π}{6}或x=\frac{2π}{3}对称$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{π}{3}或\frac{4π}{3}$．

点评 考查了向量的数量积公式，倍角公式，两角和的正弦公式，三角函数的图象性质．考查计算能力，基本知识的灵活运应能力，考查转化思想．