Question

15．已知数列{a_n}满足a_n+2+a_n=2a_n+1（n∈N^*），且a₅=$\frac{π}{2}$，若函数f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$，记y_n=f（a_n），则数列{y_n}的前9项和为（　　）

• A． 0
• B． -9
• C． 9
• D． 1

Answer 1

分析 由数列{a_n}满足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，可得数列{a_n}是等差数列．由a₅=$\frac{π}{2}$，可得a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π．由f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$，可得f（x）=sin2x+cosx+1，可得f（a₁）+f（a₉）=sin2a₁+cosa₁+1+sin2a₉+cosa₉+1=2，同理f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2，进而得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，
∴数列{a_n}是等差数列，
∵a₅=$\frac{π}{2}$，∴a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π
∵f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$，
∴f（x）=sin2x+cosx+1，
∴f（a₁）+f（a₉）=sin2a₁+cosa₁+1+sin2a₉+cosa₉+1=2，
同理f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2，
∵f（a₅）=1，
∴数列{y_n}的前9项和为9．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、倍角公式与和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．