Question

19．（1）求函数f（x）=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}}$-3•2^x+5在区间[-2，2]上的最大值，并求函数f（x）取得最大值时的x的取值？
（2）若函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0，a≠1）在区间[-2，2]上的最大值为14，求实数a的值？

Answer 1

分析 （1）设t=2^x，由于-2≤x≤2，则$\frac{1}{4}≤t≤4$，∴$y=\frac{1}{2}{t^2}-3t+5=\frac{1}{2}{（t-3）^2}+\frac{1}{2}$，再利用二次函数的知识求得y的最大值以及此时的x的取值．
（2）设t=a^x，则y=t²+2t-1=（t+1）²-2，利用二次函数的知识分类讨论求得y的最大值以及此时的a的取值．

解答 解：（1）∵f（x）=${4^{x-\frac{1}{2}}}$-3•2^x+5=${2^{2x-1}}-3•{2^x}+5=\frac{1}{2}•{（{2^x}）^2}-3•{2^x}+5$，
∴设t=2^x，由于-2≤x≤2，则$\frac{1}{4}≤t≤4$，∴$y=\frac{1}{2}{t^2}-3t+5=\frac{1}{2}{（t-3）^2}+\frac{1}{2}$，
由二次函数知识，得：当$t=\frac{1}{4}$，即x=-2时，y有最大值为$\frac{137}{32}$．
（2）∵y=a^2x+2a^x-1（a＞0，a≠1）=（a^x）²+2a^x-1，
设t=a^x，则y=t²+2t-1=（t+1）²-2，
①当a＞1时，由于-2≤x≤2，则$\frac{1}{a^2}≤t≤{a^2}$
由二次函数知识，得：当t=a²，即x=2时，y有最大值14，∴（a²）²+2a²-1=14，
解得a²=-5（舍去），$a=-\sqrt{3}$（舍去），$a=\sqrt{3}$．
②当0＜a＜1时，由于-2≤x≤2，则${a^2}≤t≤\frac{1}{a^2}$，
由二次函数知识，得：当$t=\frac{1}{a^2}$，即x=-2时，y有最大值14，
∴${（\frac{1}{a^2}）^2}+2\frac{1}{a^2}-1=14$解得：$a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
综上所述，$a=\sqrt{3}$，或$a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查求复合函数的最值，二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．