Question

5．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为4，点（2，-$\sqrt{2}}$）在C上
（1）求椭圆C有方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x²+y²=1上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）直接由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得线段AB的中点M的坐标，代入圆的方程求得m的值．

解答 解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{2c=4}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4．
∴椭圆C有方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，可得3x²+4mx+2m²-8=0．
△=16m²-12（2m²-8）=-8m²+96＞0，得-2$\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，${y}_{1}+{y}_{2}={x}_{1}+{x}_{2}+2m=-\frac{4m}{3}+2m=\frac{2m}{3}$，
∴线段AB的中点M（$-\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$）．
代入圆x²+y²=1，得$（-\frac{2m}{3}）^{2}+（\frac{m}{3}）^{2}=1$，解得：m=$±\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．