题目内容
已知函数f（x）=
，判断函数y=f（ax）（a＜0）的单调性，并用函数单调性定义加以证明．
| 2x |
| 1-x |
考点：函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：根据单调性的定义，进行作差变形整理，即可得到答案．
解答：
解：∵f（x）=
，
∴f（ax）=
，
设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
-
=
∵x1-x2＜0，a＜0，
∴2a（x1-x2）＞0，
当x1＜x2∈（-∞，1）时，（1-x1）（1-x2）＞0，
当x1＜x2∈（1，+∞）时，（1-x1）（1-x2）＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（-∞，1）与（1，+∞）上是减函数；
| 2x |
| 1-x |
∴f（ax）=
| 2ax |
| 1-x |
设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
| 2ax1 |
| 1-x1 |
| 2ax2 |
| 1-x2 |
| 2a(x1-x2) |
| (1-x1)(1-x2) |
∵x1-x2＜0，a＜0，
∴2a（x1-x2）＞0，
当x1＜x2∈（-∞，1）时，（1-x1）（1-x2）＞0，
当x1＜x2∈（1，+∞）时，（1-x1）（1-x2）＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（-∞，1）与（1，+∞）上是减函数；
点评：本题给出分式函数，讨论了函数的单调性并求函数在闭区间上的值域，着重考查了函数单调性的判断与证明和函数的值域等知识，属于基础题．
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