题目内容
已知数列{an}中，a1=5，an=Sn-1+n（n≥2），则an= ．
考点：数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：在数列递推式中取n=n+1得另一递推式，作差后构造等比数列{an+1}，则数列{an}的通项公式可求．
解答：
解：由an=Sn-1+n（n≥2），得
an+1=Sn+n+1，
两式作差得：an+1-an=an+1，
即an+1=2an+1（n≥2）．
an+1+1=2（an+1）（n≥2）．
∵a1=5，
∴a2=S1+2=5+2=7．
∴数列{an+1}从第二项起构成以a2+1=8为首项，以2为公比的等比数列．
则an+1=8•2n-2，
an=8•2n-2-1（n≥2）．
∴an=
．
an+1=Sn+n+1，
两式作差得：an+1-an=an+1，
即an+1=2an+1（n≥2）．
an+1+1=2（an+1）（n≥2）．
∵a1=5，
∴a2=S1+2=5+2=7．
∴数列{an+1}从第二项起构成以a2+1=8为首项，以2为公比的等比数列．
则an+1=8•2n-2，
an=8•2n-2-1（n≥2）．
∴an=
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点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．
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