Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，给出以下结论：
①DB₁⊥平面ACD₁；
②AD₁∥平面BCC₁；
③AD⊥平面D₁DB；
④平面ACD₁⊥平面B₁D₁D；
⑤AB与DB₁所成的角为45°．
其中所有正确结论的序号为

 

（请把正确结论的序号都填上）．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：对于①，推导出DB₁⊥AC，DB₁⊥D₁C，从而得到DB₁⊥平面ACD₁；对于②，由AD₁∥BC₁，得到AD₁∥平面BCC₁；对于③，由AD与DB的夹角为45°，得到AD与平面D₁DB一定不垂直；对于④，由DB₁⊥平面ACD₁，得到平面ACD₁⊥平面B₁D₁D；对于⑤，设AB=a，则AD₁=

2

，BD₁=

3

，所以AB与DB₁所成的角为90°．

解答： 解：对于①，连结BD，则BD⊥AC，又BB₁⊥AC，
∴AC⊥平BDB₁，∴DB₁⊥AC，
同理，DB₁⊥D₁C，∴DB₁⊥平面ACD₁，故①正确；
对于②，∵AD₁∥BC₁，
AD₁不包含于平面ACD₁，BC₁?平面ACD₁，
∴AD₁∥平面BCC₁，故②正确；
对于③，∵AD与DB的夹角为45°，DB?平面D₁DB，
∴AD与平面D₁DB一定不垂直，故③不正确；
对于④，∵DB₁⊥平面ACD₁，DB₁?B₁D₁D，
∴平面ACD₁⊥平面B₁D₁D，故④正确；
对于⑤，设AB=a，则AD₁=

2

，BD₁=

3

，
∴AB与DB₁所成的角为90°，故⑤不正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查直线与平面、平面与平南的位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．