Question

已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c=2，向量

m

=（c，

3

b），

n

=（cosC，sinB），且

m

∥

n

．
（1）求角C的大小；
（2）若sin（A+B），sin2A，sin（B-A）成等差数列，求边a的大小．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；
（2）由sin（A+B），sin2A，sin（B-A）成等差数列，可得2sin2A=sin（A+B）+sin（B-A），cosA=0或2sinA=sinB，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

∥

n

，
∴

3

bcosC-csinB=0，
由正弦定理可得：

3

sinBcosC-sinCsinB=0，
∵sinB≠0，
∴tanC=

3

，C∈（0，π），
∴C=

π

3

．

（2）∵sin（A+B），sin2A，sin（B-A）成等差数列，
∴2sin2A=sin（A+B）+sin（B-A），
化为4sinAcosA=2sinBcosA，
∴cosA=0或2sinA=sinB，即2a=b．
当cosA=0时，A∈（0，π），
∴A=

π

2

，
∴a=

c

sinC

=

2

sin π 3

=

4 3

3

．
当2a=b时．由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴4=a2+4a2-4a2cos

π

3

，
化为a2=

4

3

，
解得a=

2 3

3

．

点评：本题考查了两角和差的正弦公式、正弦定理余弦定理、三角形内角和定理、数量积运算性质、直角三角形的边角关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．