Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，正△PF₁F₂的中心恰为椭圆的上顶点A，且

AF1

•

AF2

=-2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P的直线l与椭圆E交于M，N两点，点B在x轴上，△BMN是以角B为顶角的等腰直角三角形，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先确定a=2b，∠F₁AF₂=

2π

3

，利用

AF1

•

AF2

=a²cos

2π

3

=-2，即可求出a，b，从而可得椭圆E的方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+3，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据MN中点为G，所以BG⊥MN，|MN|=2|BG|，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）正△PF₁F₂的边长为2c（c为椭圆E的半焦距），且点P在y轴上
依题意

3

2

•2c•

1

3

=b，∴c²=3b²，∴a=2b  …（1分）
∵∠F₁AF₂=

2π

3

，
∴

AF1

•

AF2

=a²cos

2π

3

=-2． …（3分）
∴a=2，b=1，
∴椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1…（4分）
（2）由（1）知，正△PF₁F₂的边长为2

3

，
∴点P的坐标为（0，3）
若直线l的斜率不存在，M，N即椭圆E的上下顶点，显然当点B为（-1，0）或（1，0）时，
△BMN是以角B为顶角的等腰直角三角形，此时直线l的方程为x=0 …（6分）
若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx+3，
与

x2

4

+y2=1联立得（4k²+1）x²+24kx+32=0，
△=64（k²-2）＞0，∴k²＞2 …（7分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），B（m，0），MN中点为G（x₀，y₀），
∴x₀=

-12k

4k2+1

，y₀=

3

4k2+1

∵BG⊥MN，
∴k•

3 4k2+1

-12k 4k2+1 -m

=-1，
∴m=-

9k

4k2+1

…（9分）
|BG|=

3(k2+1)

(4k2+1) k2+1

 …（10分）
|MN|=

8 1+k2 × k2-2

4k2+1

 …（11分）
∵|MN|=2|BG|，
∴

8 1+k2 × k2-2

4k2+1

=2•

3(k2+1)

(4k2+1) k2+1

 
∴k²=

41

16

，∴k=±

41

4

且满足k²＞2 …（12分）
∴直线l的斜率存在时，直线方程为y=±

41

4

x+3 …（13分）
综上，所求直线l的方程为y=±

41

4

x+3和x=0 …（14分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．