题目内容
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+c2-bc．
（1）求A的大小；
（2）若a=15，cos（B+
）=
，求b的值．
（1）求A的大小；
（2）若a=15，cos（B+
| π |
| 4 |
| ||
| 5 |
考点：余弦定理
专题：解三角形
分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）由B的范围确定出B+
的范围，根据cos（B+
）的值求出sin（B+
）的值，由sinB=sin[（B+
）-
]，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求出sinB的值，再由a与sinA的值，利用正弦定理求出b的值即可．
（2）由B的范围确定出B+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
解答：
解：（1）∵a2=b2+c2-bc，即b2+c2-a2=bc，
∴cosA=
=
=
，
∵A是三角形内角，∴0＜A＜π，
∴A=
；
（2）∵0＜B＜
，∴
＜B+
＜
，
∵cos（B+
）=
，
∴sin（B+
）=
=
，
∴sinB=sin[（B+
）-
]=sin（B+
）cos
-cos（B+
）sin
=
×
-
×
=
，
则由正弦定理
=
得：b=
=
=
．
∴cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| bc |
| 2bc |
| 1 |
| 2 |
∵A是三角形内角，∴0＜A＜π，
∴A=
| π |
| 3 |
（2）∵0＜B＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 11π |
| 12 |
∵cos（B+
| π |
| 4 |
| ||
| 5 |
∴sin（B+
| π |
| 4 |
1-(
|
2
| ||
| 5 |
∴sinB=sin[（B+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
2
| ||
| 5 |
| ||
| 2 |
| ||
| 5 |
| ||
| 2 |
| ||
| 10 |
则由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| asinB |
| sinA |
15×
| ||||
|
| 30 |
点评：此题考查正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
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53随堂测系列答案
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