Question

如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为

 

．

Answer 1

考点：圆的切线的判定定理的证明,与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：根据DE∥AC利用平行线的性质，证出AE=BE且∠BDE=∠C．再由弦切角定理证出∠BDE=∠PAE，从而得出∠BED=∠PEA，可得△BED∽△PEA，最后利用题中数据计算线段的比，即可算出PA的长．

解答： 解：∵D是BC的中点，DE∥AC，∴AE=BE，且∠BDE=∠C．
又∵PA切圆O于点A，∴∠PAE=∠C，可得∠BDE=∠PAE．
∵∠BED=∠PEA，
∴△BED∽△PEA，可得

ED

AE

=

BE

PE

，
∴AE²=BE•AE=PE•ED=6．
由此解出AE=

6

．
∵AE²=GE•EF，∴GE=2，
∴PG=1，
∴PA²=PG•PF=6，
∴PA=

6

．
故答案为：

6

．

点评：本题给出圆满足的条件，求线段PA的长．着重考查了弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．