题目内容
已知集合A={x|（x-1）（x-2a-3）＜0}，函数y=lg
的定义域为集合B．
（1）若a=1，求集合A∩∁RB
（2）已知a＞-1且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
| x-(a2+2) |
| 2a-x |
（1）若a=1，求集合A∩∁RB
（2）已知a＞-1且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,交、并、补集的混合运算
专题：简易逻辑
分析：（1）求解集合A．B根据集合的基本运算即可得到结论．
（2）求出集合A，B，根据充分条件和必要条件的关系即可得到结论
（2）求出集合A，B，根据充分条件和必要条件的关系即可得到结论
解答：
解：（1）若a=1，则A={x|（x-1）（x-5）＜0}={x|1＜x＜5}，
函数y=lg
=lg
，由
＞0，解得2＜x＜3，即B=（2，3），
则∁RB={x|x≤2或x≥3}，
则A∩∁RB={x|1＜x≤2或3≤x＜5}，
（2）方程（x-1）（x-2a-3）=0的根为x=1或x=2a+3，
若a＞-1，则2a+3＞1，即A={x|（x-1）（x-2a-3）＜0}={x|1＜x＜2a+3}
由g
＞0得（x-2a）[x-（a2+2）]＜0，
∵a2+2-2a=（a-1）2+1＞0，
∴a2+2＞2a
∴（x-2a）[x-（a2+2）]＜0的解为2a＜x＜a2+2，即B={x|2a＜x＜a2+2}
若x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件
则B?A，
即
且等号不能同时取，
即
，则
，
即
≤a≤1+
．
函数y=lg
| x-(a2+2) |
| 2a-x |
| x-3 |
| 2-x |
| x-3 |
| 2-x |
则∁RB={x|x≤2或x≥3}，
则A∩∁RB={x|1＜x≤2或3≤x＜5}，
（2）方程（x-1）（x-2a-3）=0的根为x=1或x=2a+3，
若a＞-1，则2a+3＞1，即A={x|（x-1）（x-2a-3）＜0}={x|1＜x＜2a+3}
由g
| x-(a2+2) |
| 2a-x |
∵a2+2-2a=（a-1）2+1＞0，
∴a2+2＞2a
∴（x-2a）[x-（a2+2）]＜0的解为2a＜x＜a2+2，即B={x|2a＜x＜a2+2}
若x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件
则B?A，
即
|
即
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即
| 1 |
| 2 |
| 2 |
点评：本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，求出对应的集合是解决本题的关键．
练习册系列答案
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