题目内容
已知函数f（x）=x-1+
（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a；
（Ⅱ）求f（x）的极值．
| a |
| ex |
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a；
（Ⅱ）求f（x）的极值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（1）求出函数的导数，由两直线平行的条件得，f′（1）=0，即可求出a；
（2）求出导数，对a讨论，分a≤0，a＞0，求出单调区间，即可得到函数的极值．
（2）求出导数，对a讨论，分a≤0，a＞0，求出单调区间，即可得到函数的极值．
解答：
解：（1）函数f（x）=x-1+
的导数f′（x）=1-
，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1-
=0，
∴a=e；
（2）导数f′（x）=1-
，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）是R上的增函数，无极值；
②当a＞0时，ex＞a时即x＞lna，f′（x）＞0；
ex＜a，即x＜lna，f′（x）＜0，
故x=lna为f（x）的极小值点，且极小值为lna-1+1=lna，无极大值．
综上，a≤0时，f（x）无极值；a＞0时，f（x）有极小值lna，无极大值．
| a |
| ex |
| a |
| ex |
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1-
| a |
| e |
∴a=e；
（2）导数f′（x）=1-
| a |
| ex |
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）是R上的增函数，无极值；
②当a＞0时，ex＞a时即x＞lna，f′（x）＞0；
ex＜a，即x＜lna，f′（x）＜0，
故x=lna为f（x）的极小值点，且极小值为lna-1+1=lna，无极大值．
综上，a≤0时，f（x）无极值；a＞0时，f（x）有极小值lna，无极大值．
点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用，求切线方程和求极值，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．
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