Question

设集合A={x|y=log₂（-x²-2x+8）}，B={y|y=x+

1

x-1

-2}，集合C={x|（ax-

1

a

）（x+4）≤0}．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆∁_RA，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：函数的性质及应用,集合

分析：（1）根据对数函数的真数大于0，可求得A，根据对勾函数的值域可求出B，进而可得A∩B；
（2）由（1）求出∁_RA，再由C⊆∁_RA，构造关于a的不等式，进而得到实数a的取值范围．

解答： 解：（1）A={x|y=log₂（-x²-2x+8）}={x|（-x²-2x+8）＞0}={x|（-x+2）（x+4）＞0}=（-4，2），
B={y|y=x+

1

x-1

-2}=B={y|y=x-1+

1

x-1

-1}，
∵x-1+

1

x-1

∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
∴B=（-∞，-3]∪[1，+∞），
∴A∩B=（-4，-3]∪[1，2）…（7分）
（2）∁_RA=（-∞，-4]∪[2，+∞），
解（ax-

1

a

）（x+4）=0得：
x=

1

a2

，或a=-4，
当a＞0时，C=[-4，

1

a2

]，
又此时不满足条件C⊆∁_RA，
当a＜0时，C=(-∞，-4]∪[

1

a2

，+∞)，
又C⊆∁_RA，
∴

1

a2

≥2⇒a2≤

1

2

⇒-

2

2

≤a＜0…（14分）

点评：本题考查的知识点是集合的交并补运算，是集合运算，函数定义域和值域的综合考查，难度中档．