Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=21，a_3n=a_2n+a_n+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若存在常数k，使不等式k≥

an+1

Sn+8

（n∈N^*）恒成立，求k的最小值．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得

3a1+ 3×2 2 d=21 a1+(3n-1)d=a1+(2n-1)d+a1+(n-1)d+1

，由此求出公差与首项，从而能求出a_n=4n-1．
（2）求出S_n=2n²+n，从而得到

an+1

Sn+8

=

4n

2n2+n+8

=

4

2n+ 8 n +1

，由此利用均值定理能求出k的最小值．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=21，a_3n=a_2n+a_n+1，n∈N^*．
∴

3a1+ 3×2 2 d=21 a1+(3n-1)d=a1+(2n-1)d+a1+(n-1)d+1

，
解得a₁=3，d=4，
∴a_n=4n-1．
（2）∵a₁=3，d=4，
∴S_n=3n+

n(n-1)

2

×4=2n²+n，
∴

an+1

Sn+8

=

4n

2n2+n+8

=

4

2n+ 8 n +1

≤

4

2 2n• 8 n +1

=

4

9

，（当且仅当n=2时取等号）
∴k≥

4

9

，∴k的最小值是

4

9

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．