Question

设f（x）=

1

3

x³+ax²+5x+6在区间[1，3]上为单调递减函数，则实数a的取值范围为（　　）

• A、（-∞，-

  5

  ]
• B、（-∞，-3]
• C、（-∞，-3]∪[-

  5

  ，+∞）
• D、（-

  5

  ，

  5

  ]

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求导函数，f（x）在[1，3]上为单调函数，则f′（x）≤0在[1，3]上恒成立，利用分离参数法，借助于导数，确定函数的最值，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：求导数可得：f′（x）=x²+2ax+5
∵f（x）在[1，3]上为单调递减函数，
∴f′（x）≤0，
即x²+2ax+5≤0在[1，3]恒成立，
∴a≤-

x2+5

2x

在[1，3]恒成立，
设g（x）=-

x2+5

2x

，则g′（x）=

5-x2

2x2

，
令g′（x）=0得：x=

5

或x=-

5

（舍去）
∴当1≤x≤

5

时，g′（x）≥0，当

5

≤x≤3时，g′（x）≤0
∴g（x）在（1，

5

）上递增，在（

5

，3）上递减，
∵g（1）=-3 g（3）=-

7

3

，
∴最小值为g（1）=-3
∴当f′（x）≤0时，a≤g（x）≤g（1）=-3
∴a≤-3，
故选：B．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，分离参数，求函数的最值是关键．