Question

已知函数f（x）=

x+a

x

，a≠0．
（1）若a=1，用定义证明f（x）在[1，+∞）上单调递增；
（2）判断并证明f（x）在其定义域上的单调性，并求f（x）在区间[1，4]上的最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）运用单调性定义证明，注意作差、变形，确定符号等；
（2）可运用函数的导数，判断单调性，注意讨论，再由单调性讨论即可得到f（x）在区间[1，4]上的最小值．

解答： （1）证明：由于f（x）=

x+1

x

即有f（x）=

x

+

1

x

，
令m＞n≥1，则f（m）-f（n）=

m

+

1

m

-（

n

+

1

n

）
=（

m

-

n

）（1-

1

mn

），
由于m＞n≥1，则有

m

＞

n

，

mn

＞1，0，＜

1

mn

＜1，1-

1

mn

＞0，
则f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
则f（x）在[1，+∞）上单调递增；
（2）解：函数f（x）=

x+a

x

，a≠0即为f（x）=

x

+

a

x

，
f′（x）=

1

2

1

x

-

a

2

•

1

x x

=

x-a

2x x

，
当a＜0时，由于x＞0，f′（x）＞0，f（x）在x＞0上递增；
当a＞0，①x＞a时，f′（x）＞0，f（x）在x＞a上递增；
②0＜x＜a时，f′（x）＞0，f（x）在0＜x＜a上递减．
若a＜0时，则f（x）在区间[1，4]上递增，f（1）最小，且为1+a；
若a＞4，则f（x）在区间[1，4]上递减，则f（4）最小，且为2+

a

2

；
若1≤a＜4，则x=a为极小值点，也为最小值点，则f（a）最小，且为2

a

；
若a＜1，则f（x）在区间[1，4]上递增，f（1）最小，且为1+a．
综上，a＜0或a＜1时，f（x）的最小值为1+a；
a＞4时，f（x）的最小值为2+

a

2

；
1≤a＜4时，f（x）最小为2

a

．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的单调性的判断和运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．