Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A₁A=AB=AD=2BC=2，点E在棱AB上，平面A₁EC与棱C₁D₁相交于点F．
（Ⅰ）证明：A₁F∥平面B₁CE；
（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角A₁-EC-D的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-A₁EF的体积的最大值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，从而A₁F∥EC，由此能证明A₁F∥平面B₁CE．
（Ⅱ）以AB，AD，AA₁分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-EC-D的余弦值．
（Ⅲ）过点F作FM⊥A₁B₁于点M，则FM⊥平面A₁ABB₁，由此能求出当F与点D₁重合时，三棱锥B₁-A₁EF的体积的最大值为

4

3

．

解答： （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱柱，
所以平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁．
又因为平面ABCD∩平面A₁ECF=EC，
平面A₁B₁C₁D₁∩平面A₁ECF=A₁F，
所以A₁F∥EC．…（2分）
又因为A₁F?平面B₁CE，EC?平面B₁CE，
所以A₁F∥平面B₁CE．…（4分）
（Ⅱ）解：因为AA₁⊥底面ABCD，∠BAD=90°，
所以AA₁，AB，AD两两垂直，以A为原点，
以AB，AD，AA₁分别为x轴、y轴和z轴，
如图建立空间直角坐标系．…（5分）
则A₁（0，0，2），E（1，0，0），C（2，1，0），
所以 

A1E

=(1，0，-2)，

A1C

=(2，1，-2)．
设平面A₁ECF的法向量为

m

=(x，y，z)，
由

A1E

•

m

=0，

A1C

•

m

=0，
得

x-2z=0 2x+y-2z=0.

令z=1，得

m

=(2，-2，1)．…（7分）
又因为平面DEC的法向量为

n

=(0，0，1)，…（8分）
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

3

，
由图可知，二面角A₁-EC-D的平面角为锐角，
所以二面角A₁-EC-D的余弦值为

1

3

．…（10分）
（Ⅲ）解：过点F作FM⊥A₁B₁于点M，
因为平面A₁ABB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，FM?平面A₁B₁C₁D₁，
所以FM⊥平面A₁ABB₁，
所以VB1-A1EF=VF-B1A1E=

1

3

×S△A1B1E×FM…（12分）
=

1

3

×

2×2

2

×FM=

2

3

FM．
因为当F与点D₁重合时，FM取到最大值2（此时点E与点B重合），
所以当F与点D₁重合时，三棱锥B₁-A₁EF的体积的最大值为

4

3

．…（14分）

点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．