Question

11．已知m＞1，x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y+4≥0\\ mx-y+5-m≤0\\ 0≤x≤1\end{array}$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为3，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$（　　）

• A． 有最小值 $\frac{{11+2\sqrt{10}}}{3}$
• B． 有最大值$\frac{{11+2\sqrt{10}}}{3}$
• C． 有最小值$\frac{{11-2\sqrt{10}}}{3}$
• D． 有最大值$\frac{{11-2\sqrt{10}}}{3}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得a+5b=3，然后利用基本不等式求得$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$有最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y+4≥0\\ mx-y+5-m≤0\\ 0≤x≤1\end{array}$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y+4=0}\end{array}\right.$，解得A（1，5），
化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图可知，当直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a+5b=3．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（$\frac{a}{3}+\frac{5b}{3}$）=$\frac{11}{3}+\frac{5b}{3a}+\frac{2a}{3b}≥\frac{11+2\sqrt{10}}{3}$．
当且仅当2a²=5b²时，上式等号成立．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．