Question

4．已知点P（0，-2），椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F是椭圆E的右焦点，直线PF的斜率为2，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线l被圆O：x²+y²=3截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）椭圆离心率及直线的斜率公式求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；
（2）分类，当直线的斜率不存在，求得丨AB丨，根据三角形的面积公式，求得△AOB面积，当直线的斜率存在时，由点到直线的距离公式求得${m^2}=\frac{3}{4}（{k^2}+1）$，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，即可求得△AOB面积的最大值．

解答 解：（1）设F（c，0），由已知得，直线PF的斜率k=$\frac{2}{c}=2$，得c=1，又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
则$a=\sqrt{2}$，b=1，
故椭圆E的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（3分）
（2）记点O到直线l的距离为d，则$d=\sqrt{{r^2}-{{（\frac{3}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
①当直线l与y轴平行时，直线l的方程为$x=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，易求$|AB|=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{{\sqrt{30}}}{8}$，…（4分）
②当直线l与y轴不平行时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知得$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴${m^2}=\frac{3}{4}（{k^2}+1）$，．…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得（2k²+1）x²+4kmx+2（m²-1）=0，又△=10k²+2＞0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2（{m^2}-1）}}{{2{k^2}+1}}$，…（6分）
∴$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{\sqrt{2（1+{k^2}）（5{k^2}+1）}}}{{2{k^2}+1}}$，…（7分）
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{{\sqrt{3}}}{4}|AB|=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\frac{{\sqrt{2（1+{k^2}）（5{k^2}+1）}}}{{2{k^2}+1}}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}×\frac{{\sqrt{3（1+{k^2}）（5{k^2}+1）}}}{{2{k^2}+1}}$，
$≤\frac{{\sqrt{2}}}{4}×\frac{{\frac{1}{2}（3+3{k^2}+5{k^2}+1）}}{{2{k^2}+1}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，当且仅当k=±1时取等号，…（9分）
综上当k=±1时，△AOB面积的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（10分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．