Question

8．对正整数n，设曲线y=（2-x）xⁿ在x=3处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列$\left\{{\frac{a_n}{n+2}}\right\}$的前n项和等于$\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}$．

Answer 1

分析 先求出x=3时曲线表示函数的导函数，进而可知切线方程，令x=0进而求得数列$\left\{{\frac{a_n}{n+2}}\right\}$的通项公式，再由等比数列的求和公式，求得答案．

解答 解：∵y=（2-x）xⁿ的导数为y′=-xⁿ+n（2-x）x^n-1，
y'|_x=3=-3ⁿ-n•3^n-1=-3^n-1（n+3），
∴切线方程为：y+3ⁿ=-3^n-1（n+3）（x-3），
令x=0，切线与y轴交点的纵坐标为a_n=（n+2）•3ⁿ，
所以$\frac{{a}_{n}}{n+2}$=3ⁿ，
则数列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}的前n项和S_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$．
故答案为：$\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}$．

点评 本题主要考查了数列的求和问题，考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用点斜式方程，运用等比数列的求和公式，考查运算求解能力，属于中档题．