Question

10．已知sin（α+β）=$\frac{33}{65}$，cosβ=-$\frac{5}{13}$，且0＜α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，求sinα的值．

Answer 1

分析 由题意和同角三角函数基本关系可得cos（α+β）和sinβ，代入两角差的正弦公式计算可得．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，∴$\frac{π}{2}$＜α+β＜$\frac{3π}{2}$，
又∵sin（α+β）=$\frac{33}{65}$，cosβ=-$\frac{5}{13}$，
∴$\frac{π}{2}$＜α+β＜π，∴cos（α+β）=-$\sqrt{1-（\frac{33}{65}）^{2}}$=-$\frac{56}{65}$，
∴sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{12}{13}$，
∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ
=$\frac{33}{65}×（-\frac{5}{13}）$-$（-\frac{56}{65}）$×$\frac{12}{13}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．